Parte 1

Hamiltoniano de una cadena periódica

Lectura interactiva con términos clave resaltados automáticamente desde el glosario.

1. Sistema físico considerado

El Apéndice C aborda una pregunta concreta: ¿cómo se cuantiza una onda elástica? Para responderla, Kittel no trabaja directamente con un cristal tridimensional, sino con el modelo más simple que conserva lo esencial del problema: una cadena lineal de partículas conectadas por resortes.

El sistema se define con las siguientes condiciones:

Hay $$N$$ partículas, todas de masa idéntica $$M$$ .
Están conectadas entre sí por resortes de constante elástica idéntica $$C$$ y longitud $$a$$ .
Para fijar las condiciones de frontera sin tener que preocuparse por lo que ocurre en los extremos de la cadena, las partículas se disponen formando un anillo cerrado: la partícula $$N$$ está conectada con la partícula $$1$$ , igual que cualquier otro par de vecinos. Esta es la condición periódica.
El movimiento considerado es el desplazamiento transverso: cada partícula se mueve perpendicularmente al plano del anillo, no a lo largo de él. Esto reduce el problema a una sola coordenada por partícula.

El desplazamiento de la partícula $$s$$ respecto de su posición de equilibrio se denota $$q_s$$ , y su momento conjugado es $$p_s$$ . Estas dos cantidades son las variables dinámicas de partida: todo el desarrollo del apéndice consiste en transformarlas en otras variables más convenientes, sin cambiar la física que describen.

Visualización del sistema físico

Antes de avanzar hacia el tratamiento matemático, resulta útil representar gráficamente el sistema que se estudiará a lo largo de todo el apéndice. La figura muestra una cadena de N partículas conectadas mediante interacciones elásticas y cerrada sobre sí misma para formar un anillo periódico. En ella se identifican el índice de partícula s, sus vecinos inmediatos y el desplazamiento transversal $$q_s$$ respecto de la posición de equilibrio.

Esta representación permite asociar cada una de las variables introducidas en el texto con un elemento físico concreto del sistema. Más adelante, estas mismas variables serán transformadas en coordenadas normales para describir las vibraciones colectivas de la red y desarrollar el proceso de cuantización.

Esquema que muestra cómo la transformación de Fourier permite pasar de una descripción basada en los desplazamientos de partículas individuales q_s en una cadena periódica a una descripción equivalente basada en modos normales Q_k caracterizados por diferentes vectores de onda k. — Figura 1

La elección de un anillo — en lugar de una cadena abierta — no es un detalle técnico menor. Al cerrar la cadena sobre sí misma se impone automáticamente una condición de periodicidad: el desplazamiento debe repetirse cada $$N$$ partículas, $q_{s+N} = q_s$ . Esta condición es la que más adelante restringe los valores permitidos del vector de onda $$k$$ , y es también la que garantiza que ninguna partícula sea físicamente distinta de las demás: el sistema es homogéneo en toda su extensión.

Consecuencia de la condición periódica

La condición periódica no solo simplifica el tratamiento matemático del sistema: también determina qué ondas pueden existir en la cadena. Si se supone una solución ondulatoria de la forma

\[q_s=A\,e^{i(kas-\omega t)}\]

Sustituyendo la expresión de la onda se obtiene

\[ A\,e^{i[k a(s+N)-\omega t]} = A\,e^{i(kas-\omega t)}\]

Al simplificar los factores comunes resulta

\[e^{ikNa}=1\]

Esta igualdad solo se cumple cuando el argumento de la exponencial es un múltiplo entero de $2\pi$:

\[kNa=2\pi n,\qquad n=0,\pm1,\pm2,\ldots\]

Por tanto, los valores permitidos del vector de onda quedan restringidos a

\[k_n=\frac{2\pi n}{Na}\]

Esto significa que no cualquier longitud de onda es compatible con la periodicidad del anillo: únicamente aquellas que "encajan" exactamente después de recorrer las $N$ partículas del sistema.

2. Hamiltoniano clásico

Con $$N$$ partículas conectadas en anillo, el Hamiltoniano clásico del sistema es

\[H = \sum_{s=1}^{N} \left[ \frac{1}{2M} p_s^2 + \frac{1}{2} C (q_{s+1} - q_s)^2 \right] \tag{1}\]

Cada término tiene un significado físico directo:

El primer término, $\dfrac{p_s^2}{2M}$ , es la energía cinética de la partícula $$s$$ : la energía cinética usual de una partícula de masa $$M$$ y momento $$p_s$$ , sin nada distinto de la mecánica de una sola partícula libre.
El segundo término, $\dfrac{1}{2} C (q_{s+1} - q_s)^2$ , es la energía potencial elástica almacenada en el resorte que conecta la partícula $$s$$ con su vecina $$s+1$$ . No depende de la posición absoluta de las partículas, sino de la diferencia $q_{s+1} - q_s$ : lo que importa es cuánto se ha estirado o comprimido el resorte respecto a su longitud de equilibrio. Si todas las partículas se desplazaran exactamente lo mismo, esta diferencia sería cero y no habría energía potencial almacenada.

El acoplamiento entre partículas vecinas es lo que hace que el problema no sea trivial. Si los resortes no existieran ( $$C=0$$ ), cada partícula se movería de forma totalmente independiente de las demás. Es el término $(q_{s+1}-q_s)^2$ el que liga el movimiento de cada partícula al de sus vecinas inmediatas, y es justamente ese acoplamiento el que da lugar a ondas que se propagan a lo largo de la cadena en vez de vibraciones aisladas.

Conviene notar el parecido formal entre la ecuación (1) y el Hamiltoniano de un oscilador armónico simple,

\[H = \frac{1}{2M}p^2 + \frac{1}{2}Cx^2 \tag{2}\]

cuyos niveles de energía son los conocidos

\[\varepsilon_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega, \qquad n = 0,1,2,\dots \tag{3}\]

La ecuación (1) es, en cierto sentido, una versión de (2) repetida $$N$$ veces, con los términos de potencial entrelazados entre partículas consecutivas. Si pudiera reescribirse (1) de modo que adoptara la misma forma desacoplada que (2) — como una suma de Hamiltonianos de osciladores independientes —, entonces podría aplicarse directamente el resultado de cuantización (3) a cada uno de ellos. Ese es, de hecho, el programa que sigue todo el desarrollo del Apéndice C: la dificultad de (1) no está en cuantizar un oscilador armónico — eso ya se sabe hacer —, sino en encontrar las variables correctas en las que el sistema de $$N$$ partículas acopladas se desacople en $$N$$ osciladores armónicos independientes. Las partes siguientes están dedicadas exactamente a construir esa transformación.