Relaciones de conmutación

6. Relaciones canónicas

Antes de continuar con la transformación del Hamiltoniano, es necesario detenerse en un punto que sostiene todo el desarrollo cuántico del apéndice: la cuantización del sistema parte de imponer que las variables \(q_s\) y \(p_s\) dejen de ser números clásicos y se conviertan en operadores que satisfacen una relación de conmutación. Esta es la relación canónica habitual de la mecánica cuántica entre una coordenada y su momento conjugado:

donde \(\delta(r,s)\) es la delta de Kronecker: vale \(1\) si \(r=s\) y \(0\) en cualquier otro caso. Esta ecuación expresa, en el lenguaje de los conmutadores, el principio de incertidumbre entre la posición de una partícula y su propio momento: \(q_r\) y \(p_s\) conmutan — es decir, no hay restricción cuántica entre ellos — siempre que se refieran a partículas distintas (\(r\neq s\)), pero no conmutan cuando se trata de la misma partícula (\(r=s\)).

Esta relación (9) es el punto de partida de toda la cuantización del problema: es la única información cuántica que se introduce de manera directa. Todo lo que viene después — las relaciones de conmutación entre \(Q_k\) y \(P_{k'}\), la cuantización de cada modo, la existencia de los fonones — se deriva exclusivamente de (9) junto con las transformaciones de Fourier ya establecidas en la Parte II.

7. Relaciones para \(Q_k\) y \(P_{k'

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Si \(Q_k\) y \(P_{k'}\) van a desempeñar, en la nueva representación, el mismo papel que \(q_s\) y \(p_s\) desempeñaban en la representación original, deben satisfacer una relación de conmutación análoga a (9). Esto no puede darse por supuesto: debe verificarse explícitamente a partir de las definiciones (4)--(7).

Se parte de la definición del conmutador \([Q_k,P_{k'}]\) usando las transformaciones de Fourier:

Aquí no se ha usado todavía ninguna propiedad cuántica: (8) es simplemente el resultado de sustituir las definiciones (5) y (7) dentro del conmutador y usar la linealidad de este. El conmutador de las sumas se convierte en una suma doble de conmutadores \([q_r,p_s]\), uno por cada par de partículas \((r,s)\).

Es en este punto donde se introduce la relación canónica (9). Sustituyendo \([q_r,p_s]=i\hbar \delta(r,s)\) en (8), la suma doble colapsa a una sola suma, porque la delta de Kronecker anula todos los términos salvo aquellos en que \(r=s\):

El resultado (10) tiene exactamente la misma forma que (9), pero ahora en términos de \(k\) y \(k'\) en lugar de \(r\) y \(s\). Esto confirma lo que se buscaba: \(Q_k\) y \(P_k\) son efectivamente variables canónicamente conjugadas, con la misma estructura cuántica que \(q_s\) y \(p_s\). Es precisamente esta verificación la que justifica, a posteriori, el intercambio de signos entre (4) y (7) señalado en la Parte II: solo con esa elección de signos se obtiene el resultado correcto en (10).

8. Identidad de ortogonalidad

El paso de (8) a (10) descansa en la evaluación de una suma que aparece constantemente en problemas de redes periódicas:

Esta suma se anula cuando \(k\neq k'\) y vale \(N\) cuando \(k=k'\): es, en esencia, una condición de ortogonalidad entre los distintos modos de Fourier permitidos por la red. Su valor depende crucialmente de la condición periódica (6) introducida en la Parte II, que es la que permite escribir la diferencia \(k-k'\) en términos de los enteros \(n\) y \(n'\) y reconocer la suma como una suma geométrica finita sobre las \(N\) posiciones de la red.

El papel físico de esta identidad es central: es la que garantiza el desacoplamiento entre modos distintos. Si la suma no se anulara para \(k\neq k'\), el conmutador \([Q_k,P_{k'}]\) tendría contribuciones cruzadas entre modos diferentes, y los distintos valores de \(k\) no podrían tratarse como grados de libertad independientes. Gracias a (11), cada modo \(k\) se comporta, desde el punto de vista cuántico, como una variable separada de los demás: la periodicidad de la cadena es lo que permite, en última instancia, que el problema se descomponga en partes independientes.